Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=AC=2PA=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC= ．
（Ⅰ） 證明：AP⊥BC；
（Ⅱ）求三棱錐P﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：由已知可得 ，
由余弦定理得 ，則AB2=PB2+AP2 ，
∴AP⊥PB，同理AP⊥PC，又PB∩PC=P．
∴AP⊥平面PBC，則AP⊥BC；
（Ⅱ） 解：在Rt△APB中，由AB=2PA=2，得PB= ，
同理求得PC= ，又∠BAC= ，∴BC=2，
∴△PBC邊BC上的高為 ，
則 ．
∵VP﹣ABC=VA﹣PBC ，
∴
【解析】（Ⅰ）由已知結合余弦定理求得PB、PC的長度，可得AP⊥PB，AP⊥PC，再由線面垂直的判定可得AP⊥平面PBC，則AP⊥BC；（Ⅱ）求解直角三角形可得PB=PC= ，又∠BAC= ，得BC=2，進一步求出△PBC邊BC上的高，得到 ．結合VP﹣ABC=VA﹣PBC可得
三棱錐P﹣ABC的體積．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．