Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，其前n項和為S_n，且a_n與1的等差中項等于S_n與1的等比中項．
（1）求a₁的值及數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

2

1+an

+(-1)n-1×2n+1λ，若數列{b_n}是單調遞增數列，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a_n與1的等差中項等于S_n與1的等比中項列出遞推式，取n=1求出a₁，取n=n-1得到另一遞推式，作差后整理得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，再由數列是正項數列得到a_n-a_n-1=2，然后直接寫出等差數列的通項公式；
（2）把（1）中求出的通項公式代入bn=

2

1+an

+(-1)n-1×2n+1λ，根據數列{b_n}是單調遞增數列得到bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1=3×4ⁿ-3λ×（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹＞0恒成立．分n為偶數和奇數討論后求出λ的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得，

an+1

2

=

Sn

，4Sn=an2+2an+1．
當n=1時，求得a₁=1
當n≥2時，4Sn-1=an-12+2an-1+1
所以4an=4Sn-4Sn-1=an2+2an-an-12-2an-1
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因為{a_n}的各項均為正數，所以a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，所以a_n=2n-1；
（2）由（1）得，bn=4n+λ×(-1)n-1×2n+1，
又數列{b_n}是單調遞增數列，所以b_n＜b_n+1恒成立，
從而bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1
=3×4ⁿ-3λ×（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹＞0恒成立．
①當n是奇數時，得λ＜2^n-1恒成立，2^n-1的最小值為1，λ＜1
②當n是偶數時，得λ＞-2^n-1恒成立，-2^n-1最大值為-2，λ＞-2．
綜上得：-2＜λ＜1．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的性質，考查了數列的函數特性，考查了分類討論得數學思想方法，是中檔題．