Question

已知函數f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a＞0．
（1）若對任意的x∈[2，+∞），都有f（x）＞0，試求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）的定義域．

Answer 1

分析：（1）f（x）＞0?x+

a

x

-2＞1?x²-3x+a＞0恒成立，x∈[2，+∞）；利用g（x）=x²-3x+a在x∈[2，+∞）上的單調遞增的性質即可求得實數a的取值范圍；
（2）由題意，x+

a

x

-2＞0（x＞0）?x²-2x+a＞0（x＞0），構造函數g（x）=x²-2x+a，分△＜0與△≥0討論即可求得函數f（x）的定義域．

解答：解：（1）f（x）＞0即為x+

a

x

-2＞1，
∵x∈[2，+∞），則x²-3x+a＞0恒成立，
由對稱軸x=

3

2

，則必有2²-3×2+a＞0，
∴a＞2．
（2）由題意，x+

a

x

-2＞0，
∵a＞0，則顯然x＜0不成立；故x＞0，
不等式可變形為x²-2x+a＞0，不妨設g（x）=x²-2x+a，
則當△＜0，即4-4a＜0，此時a＞1，定義域為（0，+∞）．
當△≥0，即0＜a≤1時，定義域為（0，1-

1-a

）∪（1+

1-a

，+∞）．
綜上，當a＞1，定義域為（0，+∞）；0＜a≤1時，定義域為（0，1-

1-a

）∪（1+

1-a

，+∞）．

點評：本題考查函數函數恒成立問題，考查函數單調性的判斷與證明，考查分類討論思想與綜合運算能力，屬于中檔題．