Question

已知關于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集為A，且3∉A．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求集合A．

Answer 1

分析：（1）根據關于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集為A，且3∉A，可得當x=3時，（x-2）[（a-2）x-（a-4）]≤0，故可求實數a的取值范圍；
（2）不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0可化為（x-2）（x-

a-4

a-2

）＜0，再比較所對應方程的兩根的大小，即可得到結論．

解答：解：（1）∵關于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集為A，且3∉A．
∴當x=3時，（x-2）[（a-2）x-（a-4）]≤0
∴3（a-2）-（a-4）≤0
∴a≤1
∴實數a的取值范圍是（-∞，1]；
（2）由（1）知，a-2＜0
∴不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0可化為（x-2）（x-

a-4

a-2

）＜0
由

a-4

a-2

-2=

-a

a-2

知
當0＜a≤1時，

a-4

a-2

＞2，則集合A={x|2＜x＜

a-4

a-2

}；
當a=0時，原不等式解集A為空集；
當a＜0時，

a-4

a-2

＜2，則集合A={x|

a-4

a-2

＜x＜2}
綜上所述，當0＜a≤1時，集合A={x|2＜x＜

a-4

a-2

}；
當a=0時，集合A為空集；
當a＜0時，集合A={x|

a-4

a-2

＜x＜2}．  …（14分）

點評：本題重點考查不等式的解法，考查分類討論的數學思想，解題時確定分類的依據是關鍵．