Question

已知點A（-2，0）在橢圓上，設橢圓E與y軸正半軸的交點為B，其左焦點為F，且∠AFB=150°．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過x軸上一點M（m，0）（m≠-2）作一條不垂直于y軸的直線l交橢圓E于C、D點．
（i）若以CD為直徑的圓恒過A點，求實數m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y軸的左側，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵∠AFB=150°，∴∠OFB=30°（O為坐標原點）
在直角△BOF中，|FB|=2|OB|，∴a=2b
∵點A（-2，0）在橢圓上，∴a=2，∴b=1
∴橢圓；
（2）∵直線l過x軸上一點M（m，0）（m≠-2）不垂直于y軸，∴l：x=ty+m
與橢圓方程聯立，消元整理可得（t²+4）y²+2mty+m²-4=0
∴△=4m²t²-4（t²+4）（m²-4）＞0，∴t²＞m²-4
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∴，
（i）若以CD為直徑的圓恒過A點，則
∵=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂），
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=
∴或m=-2（舍去）
∴實數m的值為；
（ii）若△ACD的重心恒在y軸的左側，即重心的橫坐標恒小于0，即，∴
∴4m＜t²+4對所有符合條件的t恒成立
由t²＞m²-4知：
①若m²-4＜0，即-2＜m＜2時，t²∈[0，+∞），∴t²+4≥4，∴m＜1，∴-2＜m＜1；
②若m²-4≥0，即m≤-2或m≥2時，t²∈（m²-4，+∞），∴4m＜m²，∴m≤0或m≥4
綜上知，實數m的取值范圍是（-∞，-2）∪（-2，1）∪[4，+∞）．
分析：（1）根據∠AFB=150°，可得∠OFB=30°（O為坐標原點），從而可知a=2b，又a=2，故可求橢圓E的方程；
（2）根據直線l過x軸上一點M（m，0）（m≠-2）不垂直于y軸，假設l：x=ty+m與橢圓方程聯立，消元整理可得（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，利用△=4m²t²-4（t²+4）（m²-4）＞0，可得t²＞m²-4
（i）若以CD為直徑的圓恒過A點，利用，可求實數m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y軸的左側，即重心的橫坐標恒小于0，，結合t²＞m²-4，分類討論，即可求得實數m的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理解題．