Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣2|．

（1）當a=﹣3時，求不等式f（x）＜2的解集；

（2）若x∈[1，2]時不等式f（x）＜2成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不等式的解集為{x|x＜}；（2）實數a的取值范圍是﹣2＜a＜4.

【解析】

（1）a=﹣3時，f（x）=|x+3|﹣|x﹣2|，零點分區間，去掉絕對值，分段解不等式即可；（2）原式等價于|x﹣a|＜2+|x﹣2|成立，即2x﹣4＜a＜4，而y=2x﹣4在[1，2]上的最小值為﹣2,進而得到參數范圍.

（1）函數f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣2|，

當a=﹣3時，f（x）=|x+3|﹣|x﹣2|=；

則x≤﹣3時，不等式f（x）＜2化為﹣5＜2，∴x≤﹣3；

﹣3＜x＜2時，不等式f（x）＜2化為2x+1＜2，∴﹣3＜x＜；

x≥2時，不等式f（x）＜2化為5＜2，∴x∈；

綜上，不等式的解集為{x|x＜}；

（2）x∈[1，2]時不等式f（x）＜2成立，

即|x﹣a|﹣|x﹣2|＜2成立，

等價于|x﹣a|＜2+|x﹣2|成立；

∴|x﹣a|＜4﹣x，

∴x﹣4＜x﹣a＜4﹣x，

即2x﹣4＜a＜4；

又y=2x﹣4在[1，2]上的最小值為﹣2，

∴實數a的取值范圍是﹣2＜a＜4．