Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PC的中點．

（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）若PA=2，試問在線段EF上是否存在點Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值為？若存在，確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）滿足條件的存在，是中點.

【解析】

試題分析：本題考查二面角，空間中線面的位置關系，向量數量積運算，注意解題方法的積累，建立坐標系是解決本題的關鍵，屬于中檔題，考查學生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力．第一問，取中點，連接，通過中位線定理可得，利用線面平行的判定定理即得結論；第二問，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則平面的法向量與平面的法向量的夾角的余弦值即為，計算即可．

試題解析：證明：（Ⅰ）取中點，連接，在中，為的中點， ，正方形中為中點，，，故四邊形為平行四邊形，，

又平面，平面， 平面；

（Ⅱ）結論：滿足條件的存在，是中點．理由如下：如圖：以點為坐標原點建立空間直角坐標系，

則，由題易知平面的法向量為，假設存在滿足條件：設，，，，，設平面的法向量為，

由，可得，

，

由已知：，解得：，

所以滿足條件的存在，是中點．