Question

設函數f（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3）的最大值為m，最小值為n，其中a≠0，a∈R．
（1）求m、n的值（用a表示）；
（2）已知角β的頂點與平面直角坐標系中的原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點A（m-1，n+3）．求sin(β+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式配方，根據x的范圍，由二次函數的圖象與性質即可求出f（x）的最大值和最小值，進而用a表示出m和n；
（2）把求出的m和n代入點A的坐標，利用a表示出點A的坐標，然后分a大于0和小于0兩種情況考慮：當a大于0時，利用兩點間的距離公式求出點A到原點的距離，根據三角函數的定義求出sinβ和cosβ的值，然后把所求的式子利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將sinβ和cosβ的值代入即可求出值；當a小于0時，同理表示出點A到原點的距離，利用三角函數定義求出sinβ和cosβ的值，后把所求的式子利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將sinβ和cosβ的值代入即可求出值，綜上，得到所求式子的所有值．

解答：解：（1）由題可得f（x）=-（x-1）²+1+a，而0≤x≤3（3分）
所以m=f（1）=1+a，n=f（3）=a-3，（6分）
（2）由（1）求出的m和n得：角β終邊經過點A（a，a），（7分）
①當a＞0時，r=

a2+a2

=

2

a，
則sinβ=

a

2 a

=

2

2

，cosβ=

a

2 a

=

2

2

，
所以，sin(β+

π

6

)=sinβcos

π

6

+cosβsin

π

6

=

2 + 6

4

；（10分）
②當a＜0時，r=

a2+a2

=-

2

a，
則sinβ=

a

- 2 a

=-

2

2

，cosβ=

a

- 2 a

=-

2

2

，
所以sin(β+

π

6

)=sinβcos

π

6

+cosβsin

π

6

=-

2 + 6

4

，（13分）
綜上①②得：sin(β+

π

6

)=-

2 + 6

4

或

2 + 6

4

（14分）

點評：此題考查學生會求二次函數在閉區間上的最值，要求學生掌握任意角的三角函數定義，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道中檔題．