Question

已知α，β是方程4x²-4tx-1=0（t∈R）的兩個不等實根，函數f(x)=

2x-t

x2+1

的定義域為[α，β]．
（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）-minf（x）；
（Ⅱ）證明：對于ui∈(0，

π

2

)(i=1，2，3)，若sinu₁+sinu₂+sinu₃=1，則

1

g(tanu1)

+

1

g(tanu2)

+

1

g(tanu3)

＜

3

4

6

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設α≤x₁＜x₂≤β，則4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，利用單調函數的定義證明f（x）在區間[α，β]上是增函數．從而求得函數f（x）的最大值與最小值，最后寫出g（t）
（Ⅱ）先證：g(tanui)=

8 cosui ( 2 cos2ui +3)

16 cos2ui +9

=

16 cosui +24cosui

16+9cos2ui

≥

2 16×24

16+9cos2ui

=

16 6

16+9cos2ui

   (i=1，2，3)從而利用均值不等式與柯西不等式即得：

1

g(tanu1)

+

1

g(tanu2)

+

1

g(tanu3)

＜

3

4

6

．

解答：解：（Ⅰ）設α≤x₁＜x₂≤β，則4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，∴4(

x

2 1

+

x

2 2

)-4t(x1+x2)-2≤0，  ∴2x1x2-t(x1+x2)-

1

2

＜0
則f(x2)-f(x1)=

2x2-t

x 2 2 +1

-

2x1-t

x 2 1 +1

=

(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]

( x 2 2 +1)( x 2 1 +1)

又t(x1+x2)-2x1x2+2＞t(x1+x2)-2x1x2+

1

2

＞0  ∴f(x2)-f(x1)＞0
故f（x）在區間[α，β]上是增函數．（3分）
∵α+β=t， αβ=-

1

4

，∴g(t)=maxf(x)-minf(x)=f(β)-f(α)=

(β-α)[t(α+β)-2αβ+2]

α2β2+α2+β2+1

=

t2+1 (t2+ 5 2 )

t2+ 25 16

=

8 t2+1 (2t2+5)

16t2+25

（6分）
（Ⅱ）證：g(tanui)=

8 cosui ( 2 cos2ui +3)

16 cos2ui +9

=

16 cosui +24cosui

16+9cos2ui

≥

2 16×24

16+9cos2ui

=

16 6

16+9cos2ui

   (i=1，2，3)（9分）∴

3

i=1

1

g(tanui)

≤

1

16 6

3

i=1

(16+9cos2ui)=

1

16 6

(16×3+9×3-9)

3

i=1

sin2ui)（15分）∵

3

i=1

sinui=1，且ui∈(0，

π

2

)，  i=1，2，3      ∴3

3

i=1

sin2ui≥(

3

i=1

sinui)2=1，而均值不等式與柯西不等式中，等號不能同時成立，∴

1

g(tanu1)

+

1

g(tanu2)

+

1

g(tanu3)

＜

3

4

6

．（14分）

點評：本題主要考查了不等式的證明、函數的最值及其幾何意義，解答關鍵是利用函數單調性求最值及均值不等式與柯西不等式的靈活運用．