Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA=PD=

2

，M為AD的中點，且二面角P-AD-C的大小為60°．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PMC；
（Ⅱ）求直線BM與平面PAD的正弦值
．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定，PM⊥AD，又因為PM∩CM=M，所以AD⊥面PMC；
（Ⅱ）BM與面PAD所成角等于BC與面PAD所成角，即∠HDC就是所求角，后在三角形中計算．

解答： （本小題滿分14分）
（I）證明：因為AM∥BC，AM=

1

2

AD=BC=1，
所以四邊形AMCB是平行四邊形．所以AB∥CM．
又因為AB⊥AD，所以AD⊥CM．
又因為PA=PD，M是AD的中點，
所以PM⊥AD，
又因為PM∩CM=M，所以AD⊥面PMC．…（7分）
（II）解：取PM的中點H，連接CH，DH．
由（I）得∠PMC是二面角P-AD-C的平面角，即∠PMC=60°．
又因為PM=CM=1，所以△PCM為等邊三角形．所以CH⊥PM．
又因為AD面PMC，AD?面PAD，所以面PAD⊥面PMC．
又因為面PAD∩面PMC=PM，所以CH⊥面PAD．
因為MD∥BC，所以四邊形MDCB是平行四邊形．
所以BM與面PAD所成角等于BC與面PAD所成角，
即∠HDC就是所求角．…（10分）
在△CHD中，CH⊥HD，CH=

3

2

，BC=

2

，
所以sin∠HDC=

6

4

．…（14分）
其它解法酌情給分．

點評：本題考查了線面垂直，線面角，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．