Question

直線l：3x+4y-12=0與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1相交于A、B兩點，點P是橢圓上的一點，若三角形PAB的面積為12，則滿足條件的點P的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由題意可得AB=5，則由三角形PAB的面積為12可得AB的距離 h=

24

5

，作與AB平行的直線l，使l與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1相切，設直線l的方程為

x

4

+

y

3

=k，把l的方程代入橢圓方程化簡，由判別式等于0 解得 k值，從而得到直線l的方程，求出直線l與AB間的距離，將此距離和h作比較，從而得出結論．

解答：解：由已知可得A（4，0），B（0，3），AB=5，由12=

1

2

AB•h，可得P到AB的距離 h=

24

5

．
作與AB平行的直線l，使l與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1相切，設直線l的方程為

x

4

+

y

3

=k，
把l的方程代入橢圓方程化簡可得 x²-4kx+8k²-8=0，
由△=16k²-32（k²-1）=0
∴k=

2

，或 k=-

2

，
故直線l的方程為

x

4

+

y

3

=

2

，或

x

4

+

y

3

= -

2

．
因為

x

4

+

y

3

=

2

與AB的距離為

| 2 -1|

1 16 + 1 9

=

12( 2 -1)

5

＜

24

5

，

x

4

+

y

3

= -

2

與AB的距離為

|- 2 -1|

1 16 + 1 9

=

12( 2 +1)

5

＞

24

5

．故這樣的點P共有 2個，
故選 B．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，兩平行線間的距離公式，得到與AB平行的且與橢圓相切的切線l 的方程的個數是解題的關鍵．