Question

【題目】設函數f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當x∈（1，+∞）時，xf（x）+xe1﹣x＞1恒成立，求a的取值范圍．（其中，e=2.718…為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，f′（x）=2ax﹣ = ，x＞0，

①當a≤0時，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減．

②當a＞0時，f′（x）= ，當x∈（0， ）時，f′（x）＜0，

當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＞0，

故f（x）在（0， ）上單調遞減，在（ ，+∞）上單調遞增．

（2）解：原不等式等價于f（x）﹣ +e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，

一方面，令g（x）=f（x）﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣ +e1﹣x﹣a，

只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，

又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1處必大于等于0．

令F（x）=g′（x）=2ax﹣ + ﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a≥ ，

另一方面，當a≥ 時，F′（x）=2a+ ﹣ +e1﹣x≥1+ ﹣ +e1﹣x= +e1﹣x，

∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a≥ 時恒大于0．

∴當a≥ 時，F（x）在x∈（1，+∞）單調遞增．

∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）單調遞增．

∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．

綜上，a≥ ．

【解析】（1）利用導數的運算法則得出f′（x），通過對a分類討論，利用一元二次方程與一元二次不等式的關系即可判斷出其單調性；（2）令g（x）=f（x）﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣ +e1﹣x﹣a，可得g（1）=0，從而g′（1）≥0，解得得a≥ ，當a≥ 時，可得F′（x）在a≥ 時恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）單調遞增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）單調遞增，進而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，綜合可得a所有可能取值．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．