Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，過橢圓的右焦點F₂且與x軸垂直的直線交橢圓于P、Q兩點，設橢圓的左焦點F₁，若△PQF₁為正三角形，則此橢圓的離心率為（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  1

  2

• C．

  3

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：設|F₁F₂|=2c，依題意，△PQF₁為正三角形，設其邊長為x，其周長l=4a，由3x=4a，xsin

π

3

=2c，即可求得此橢圓的離心率．

解答：解：設|F₁F₂|=2c，正△PQF₁的邊長為x，
則其周長l=|PF₁|+|QF₁|+|PQ|
=（|PF₁|+|PF₂|）+（|QF₁|+|QF₂|）
=2a+2a=4a，
即3x=4a，
∴x=

4

3

a；①
又|PF₁|sin

π

3

=|F₁F₂|=2c，
即xsin

π

3

=2c，即x=

2c

3 2

=

4 3

3

c；②
由①②得：

4

3

a=

4 3

3

c，
∴e=

c

a

=

3

3

，即此橢圓的離心率為

3

3

．
故選：C．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，考查橢圓定義的應用，屬于中檔題．