Question

已知函數，．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若對任意正實數x，不等式恒成立，求實數k的值；
（Ⅲ）求證：．（其中）

Answer 1

（Ⅰ）單調遞減區間為，單調遞增區間為
（Ⅱ）（Ⅲ）利用放縮不等式可以證明，或用數學歸納法證明

試題分析：(Ⅰ)易知函數的定義域為，
 ；
(Ⅱ)解法一： 
 
 
  
 
 

綜上：；
解法二： 
  
由題意， 
，
 
(Ⅲ)證法一： 
  
，并累加得：  
 
 
證法二：數學歸納法（略）
點評：用導數研究函數的單調性、極值、最值等性質時，不要忘記先求函數的定義域，用放縮法證明不等式時，要注意放縮的力度要恰當，如果用數學歸納法證明，需要嚴格按步驟進行.