Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，求證：的面積為定值并求出定值

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的離心率為，圓心到直線的距離等于b及聯(lián)立方程組求解，則橢圓的方程可求；（2）把直線l的方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出直線和橢圓兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入直線方程求出兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的積，結(jié)合得到k與m的關(guān)系，借助于弦長公式求出|AB|的長度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線y=kx+m的距離，寫出三角形AOB的面積后轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)式，整理后得到結(jié)果為定值

試題解析：（1）解：由題意得

橢圓的方程為.

（2）設(shè)，則A,B的坐標(biāo)滿足

消去y化簡得 ， ，

得，

=

，即

即

=

O到直線的距離

===為定值