Question

【題目】已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）已知函數g（x）=log ，當x∈[ ， ]時，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）為奇函數．

理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定義域為（﹣1，1），

又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x），

則f（x）是奇函數

（2）解：g（x）=log =2log3 ，

又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分）

由f（x）≥g（x）得log3 ≥log3 ，

即 ≥ ，

即k2≥1﹣x2，（9分）

x∈[ ， ]時，1﹣x2最小值為 ，

則k2≥ ，

又k＞0，則k≥ ，

即k的取值范圍是（﹣∞， ]

【解析】（1）f（x）為奇函數，理由：求得定義域，計算f（﹣x）與f（x）比較即可得證；（2）由題意可得log3 ≥log3 ，即 ≥ ，即k2≥1﹣x2 ， 求得1﹣x2的最小值即可得到k的范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數的奇偶性，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱即可以解答此題．