Question

已知橢圓C：=1（a>0，b>0）的離心率與雙曲線=1的一條漸近線的斜率相等以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線sin·x+cos·y－l=0相切（為常數）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（3，0）的直線與橢圓C相交TA，B兩點，設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數t取值范圍．

Answer 1

(1) ;(2) 或．

試題分析：(1)此問主要考察橢圓與雙曲線的性質，橢圓的離心率與雙曲線的性質相等，則，利用直線與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，解出,然后利用,解出,得到方程;
(2)典型的直線與圓錐曲線相交問題，首先方程聯立,寫出根與系數的關系，代入向量相等的坐標表示，得出點坐標，利用點在橢圓上，代入方程，然后利用,利用弦長公式，得到的范圍，與之前得到的與的關系式，求出的范圍.
試題解析：（I）由題意知雙曲線的一漸近線斜率值為
，
因為，所以．故橢圓的方程為    5分
（Ⅱ）設?方程為?
由?整理得．
由，解得．
，        7分
∴  則,
， 由點在橢圓上，代入橢圓方程得
①         9分
又由，即，
將，，
代入得則, 
， ∴②      11分
由①，得，聯立②，解得
∴或        13分