Question

設(shè)橢圓C∶＋＝1(a>b>0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為.
(1)求C的方程；
(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

(1)＋＝1；(2) (，－)．

試題分析：(1)由已知可得b＝4，再由在橢圓中有：及離心率，可求得a的值，從而就可寫出橢圓C的方程；(2)由已知可寫出過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程，將此直線方程代入橢圓C的方程中，解此方程就可求得直線被C所截線段的兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入直線方程就可得到線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，若方程不好解，注意韋達(dá)定理可直接求得所求線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)．
試題解析：(1)將(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
由e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程為＋＝1.
(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為 y ＝(x－3)，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，將直線方程y＝ (x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x²－3x－8＝0，解得
x₁＝，x₂＝，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)＝＝，
＝＝(x₁＋x₂－6)＝－，
即中點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)．