Question

已知函數f(x)=log₃,是否存在實數a、b、c，使f(x)同時滿足下列三個條件：（1）定義域為R的奇函數；（2）在［1，+∞）上是增函數；（3）最大值是1.若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由.

Answer 1

分析：本題是存在性的問題.解決的辦法是：首先假設三個參數a、b、c存在，然后用三個已知條件逐一確定a、b、c的值.

解： f(x)是奇函數f(0)=0log₃b=0,

∴b=1.

又∵f(-x)=-f(x),

即log₃=-log₃,

∴=(x²+1)²-a²x²=(x²+1)²-c²x².

∴a²=c²a=c或a=-c,但a=c不合題意，故a=-c.這時f(x)=log₃在［1，+∞）上是增函數，且最大值是1.

設u(x)=在［1,+∞］上是增函數，且最大值是3.

∵u′(x)=

==,

當x＞1時x²-1＞0u′(x)＞0,

故c＞0;又當x＜-1時，u′(x)＞0;

當x∈(-1,1)時，u′(x)＜0.

所以u(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函數，在（-1，1）上是減函數.

∵x＞1,x²-cx+1＜x²+cx+1,u(x)＜1,

∴x=-1時u(x)最大值為3.

∴=3,c=1,a=-1.

經驗證：a=-1,b=1,c=1時，f(x)符合題設條件，所以存在滿足條件的a、b、c，

即a=-1,b=1,c=1.