Question

（1）在（1+x）ⁿ的展開式中，若第3項與第6項系數(shù)相等，則n等于多少？
（2）(x

x

+

1

3 x

)n的展開式奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
（3）已知(x2-

1

x

)n展開式中的二項式系數(shù)的和比（3a+2b）⁷展開式的二項式系數(shù)的和大128，求(x2-

1

x

)n展開式中的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出第3項與第6項系數(shù)，列出方程解得．
（2）利用已知求出n，據(jù)二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大，求出展開式中二項式系數(shù)最大的項．
（3）利用展開式的二項式系數(shù)和為2ⁿ，列出方程求出n，利用二項展開式的通項公式求出通項，據(jù)通項求出展開式中的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項．

解答：解：（1）由已知得C_n²=C_n⁵?n=7
（2）由已知得C_n¹+C_n³+C_n⁵+=128，2^n-1=128，n=8，
而展開式中二項式系數(shù)最大項是T4+1=

C

4 8

(x

x

)4(

1

3 x

)4=70x4

3	x2

．
（3）解：2ⁿ-2⁷=128，n=8，(x2-

1

x

)8的通項Tr+1=

C

r 8

(x2)8-r(-

1

x

)r=(-1)r

C

r 8

x16-3r
當(dāng)r=4時，展開式中的系數(shù)最大，即T₅=70x⁴為展開式中的系數(shù)最大的項；
當(dāng)r=3，或5時，展開式中的系數(shù)最小，即T₃-56x⁷，T₆=-56x為展開式中的系數(shù)最小的項．

點評：本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具；考查二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的中間項的二項式系數(shù)最大及展開式的二項式系數(shù)和為2ⁿ．