Question

【題目】設a＞0，f（x）= + 是R上的偶函數．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上為增函數．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，對一切x∈R，有f（﹣x）=f（x），即

∴ =0對一切x∈R成立，則 ，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1

（2）證明：設0＜x1＜x2，則

= ，

由x1＞0，x2＞0，x2﹣x1＞0，

得 ，

得 ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上為增函數

【解析】（1）根據偶函數的定義f（﹣x）=f（x）即可得到答案．（2）用定義法設0＜x1＜x2 ， 代入作差可得．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數的偶函數是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．