Question

選修4-1幾何證明選講，如圖，D，E分別是AB,AC邊上的點，且不與頂點重合，已知為方程的兩根，

（1）  證明 C,B,D,E四點共圓；
（2）若，求C,B,D,E四點所在圓的半徑。

Answer 1

（1）見解析（2）

本試題主要是考查了四點共圓的證明以及圓的半徑的求解綜合運用。
（1）由于連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中，結合根與系數的關系可知△ADE∽△ACB，那么因此  ∠ADE=∠ACB ， 所以C,B,D,E四點共圓。
（2）m="4," n=6時，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2,x₂=12.故  AD=2，AB=12.
取CE的中點G,DB的中點F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.
結合平行關系得到結論。
解：（I）連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中，
                
即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ， 所以C,B,D,E四點共圓。
（Ⅱ）m="4," n=6時，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2,x₂=12.故  AD=2，AB=12.
取CE的中點G,DB的中點F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.
由于∠A=90⁰，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5