Question

如圖，在四面體ABCD中，BC⊥面ACD，DA=DC，E、F分別為AB、AC的中點．
（1）求證：直線EF∥面BCD；
（2）求證：面DEF⊥面ABC．

Answer 1

分析：（1）由三角形的中位線定理可得EF∥BC，再根據線面平行的判定定理即可證得結論．
（2）要證面面垂直，根據判定定理在其中一個平面內找一條直線垂直于另一個平面即可；根據題意可得BC⊥DF，DF⊥AC，
于是得到DF⊥平面ABC．

解答：證明：（1）∵E、F分別為AB、AC的中點，∴EF∥BC．
又∵BC?平面BCD，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（2）∵DA=DC，點F為AC的中點，
∴DF⊥AC，
又∵BC⊥面ACD，DF?面ACD，∴BC⊥DF，
又∵DF∩AC=F，
∴DF⊥平面ABC．
又∵DF?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABC．

點評：本題考查了線面平行和面面垂直，理解判定定理和性質定理是解決問題的關鍵．