Question

如圖，在正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將△ABC沿DE，EF，DF折成正四面體P-DEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為

 

．

Answer 1

分析：折成的四面體是正四面體，畫出立體圖形，根據中點找平行線，把所求的異面直線角轉化為一個三角形的內角來計算．

解答：解：如圖，連接HE，取HE的中點K，連接GK，則GK∥DH，故∠PGK即為所求的異面直線角或者其補角．
設這個正四面體的棱長為2，在△PGK中，PG=

3

，GK=

3

2

，PK=

12+( 3 2 )2

=

7

2

，
故cos∠PGK=

( 3 )2+( 3 2 )2-( 7 2 )2

2× 3 × 3 2

=

2

3

．
即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧．