Question

【題目】（1）已知a，b，N都是正數，a≠1，b≠1，證明對數換底公式：logaN＝；

（2）寫出對數換底公式的一個性質（不用證明），并舉例應用這個性質．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）設且，化為指數式，兩邊取對數可得，化簡代入即可得出結果；（2）或.

（1）設logaN＝x，則N＝ax．

兩邊同時取b為底對數，得logbN＝logbax．

由對數運算性質，得logbN＝xlogba．

因為a≠1，所以logba≠0，所以x＝，于是logaN＝．

或者：因為alogaN＝N，兩邊同時取b為底對數，得logbalogaN＝logbN．

由對數運算性質，得logaNlogba＝logbN．

因為a≠1，所以logba≠0，所以logaN＝．

（2）對數換底公式性質（i）：logaNlogba＝logbN．

例如log23log38＝log28＝3．

對數換底公式性質（ii）：logablogba＝1．

例如＋＝log102＋log105＝log1010＝1．

對數換底公式性質（iii）：logNn＝logaN．

例如log2781＝log34＝log33＝．