Question

【題目】如圖為某大河的一段支流，岸線近似滿足∥寬度為7圓為河中的一個(gè)半徑為2的小島，小鎮(zhèn)位于岸線上，且滿足岸線現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對(duì)岸的通道（圖中粗線部分折線段，在右側(cè)），為保護(hù)小島，段設(shè)計(jì)成與圓相切，設(shè)

（1）試將通道的長(zhǎng)表示成的函數(shù)，并指出其定義域.

（2）求通道的最短長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）(2)

【解析】

(1) 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，先求出，

再求出，即可求出，再求函數(shù)的定義域.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值,即得通道ABC的最短長(zhǎng)．

(1)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

因?yàn)?/span>與的距離為，

所以，

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，所以設(shè)，

則直線的方程為，即

因?yàn)?/span>與圓相切，圓的半徑為，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

即，

所以，

由于，所以，

令，

則因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，

即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

(2

令，得，則，其中，且.

由，得，

		0	+
		極小值

所以當(dāng)時(shí)，，

即通道的最短長(zhǎng)為.