Question

【題目】已知直線y＝b與函數f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分別交于A，B兩點，若AB的最小值為2，則a+b＝_______.

Answer 1

【答案】2.

【解析】

設A（x1，b），B（x2，b），則2x1+3＝ax2+lnx2＝b，表示出x1，求出|AB|，利用導數，結合最小值也為極小值，可得極值點，求出最小值，解方程可得a＝1，再求得b和a+b．

設A（x1，b），B（x2，b），可設x1＜x2，

則2x1+3＝ax2+lnx2＝b，

∴x1（ax2+lnx2﹣3），

∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2，

令y＝（1a）xlnx，

則y′＝1（x＞0），

由|AB|的最小值為2，

可得2﹣a＞0，

函數在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，

∴x時，函數y取得極小值，且為最小值2，

即有（1a）ln2，即得ln0

解得a＝1，

由x2＝1，

則b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1，

可得a+b＝2．

故答案為：2．