Question

【題目】已知函數.

（1）若函數有極值，求實數的取值范圍；

（2）當時，若在，處導數相等，證明：；

（3）若函數在上有兩個零點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）對函數求導，根據導函數存在穿過型零點求解；

（2）由得出，利用基本不等式得出，然后計算可得證；

（3）轉化為，通過研究的單調性、極值得出的兩個零點的范圍，不妨設不妨設，然后分類討論，若，則結論成立；

若，即時，構造新函數，，通過導數（需兩次求導）得出的單調性，由的關系：．可證得結論，

解：（1）由題意知，

因為有極值，所以當，有解，所以.

（2）證明：，由，

得，

即，

因為，且，

所以，得，

則.

（3）證明：，

即，令，則，

則函數在上單調遞減，

在上單調遞增，.

令，其中，

則，

當時，，故，

從而當時有兩個零點，

不妨設，

若，則結論成立；

若，即時，

令，，

則，

令，則，

∴在上單調遞增，

則，

∴在上單調遞減，

∴，

即在上恒成立，

∴，

∵，，

而在上單調遞增，

∴，即．