Question

甲、乙兩人進行一項游戲比賽，比賽規則如下：甲從區間[0，1]上隨機等可能地抽取一個實數記為b，乙從區間[0，1]上隨機等可能地抽取一個實數記為c（b，c可以相等），若關于x的方程x²+2bx+c=0有實根，則甲獲勝，否則乙獲勝．
（Ⅰ）求一場比賽中甲獲勝的概率；
（Ⅱ）設n場比賽中，甲恰好獲勝k場的概率為P_n^k（k≤n，k∈N，n∈N^*），求

n

k=0

k

n

P

k n

的值．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發生包含的事件是邊長為1的正方形的面積，滿足條件的事件是方程x²+2bx+c=0有實根的充要條件，寫出變量滿足的關系式，用積分求出面積，做比值得到結果．
（2）由題意知本題符合獨立重復試驗的條件，根據獨立重復試驗的公式寫出概率，表示出和式，問題轉換為二項式定理的應用，根據組合數把式子變形，提出公因式，逆用二項式定理，得到結果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個幾何概型，
試驗發生包含的事件是邊長為1的正方形的面積，
滿足條件的事件是方程x²+2bx+c=0有實根的充要條件是△=4b²-4c≥0，即b²≥c
由題意知，每場比賽中甲獲勝的概率為P1=

∫ 1 0 b2db

1

=

1

3

b³|₀¹=

1

3

（2）∵由題意知本題符合獨立重復檢驗的條件，
∴n場比賽中甲恰好獲勝k場的概率為P_n^k=

C

k n

(

1

3

)k(

2

3

)n-k
∴

n

k=0

k

n

P

k n

=

C

0 n

0

n

(

1

3

)0 (

2

3

)n+

C

1 n

1

n

(

1

3

)1(

2

3

)n-1+…+

C

r n

r

n

(

1

3

)r(

2

3

)n-r+…+

C

n n

n

n

(

1

3

)n
又

C

r n

r

n

=

n!

r!(n-r)!

•

r

n

=C_n-1^r-1，
∴

n

k=0

k

n

P

k n

=

C

0 n-1

(

1

3

)1(

2

3

)n-1+

C

1 n-1

 (

1

3

)2(

2

3

)n-2+…+

C

n-1 n-1

(

1

3

)n(

2

3

)0
=

1

3

[

C

0 n

(

1

3

)0(

2

3

)n-1+

C

1 n-1

(

1

3

)1(

2

3

)n-2+…

C

n-1 n-1

(

1

3

)n-1(

2

3

)0]
=

1

3

(

1

3

+

2

3

)n-1=

1

3

點評：這是一個中檔題，培養運用從具體到抽象、從特殊到一般的分析問題的能力，充分體現數學的化歸思想．啟發誘導的同時，訓練了學生觀察和概括歸納的能力．