Question

在四棱錐P-ABCD中，地面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=

1

2

AD=2，PA=PB=PA=

6

，E為線段PC上的動點．
（1）證明：CD⊥AE；
（2）求直線PB與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用線面垂直，證明線線垂直，CD⊥面PAC，易得CD⊥AE；
（2）向量法求線面角．

解答： 解：（1）證明：設AC的中點為O，連接PO、OB，由PA=PC得PO⊥AC，
在Rt△ABC中，AB=AC，∴OA=OB=OC，
又∵PA=PB=PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴PO⊥OB，
由AC與OB相交可知PO⊥平面ABC，∴PO⊥CD，…4分
在直角梯形ABCD中，易求得AC=CD=2

2

，
∴AC²+CD²=AD²，∴∠ACD=

π

2

，∴AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，
∴CD⊥AE；…6分
（2）建立空間直角坐標系O-xyz，其中x軸∥AB，y軸∥AD，則A（-1，-1，0），B（1，-1，0），D（-1，3，0），
由PO=

PB2-BO2

=

( 6 )2-( 2 )2

=2知P（0，0，2），…8分
設平面PAD的法向量為

n

=（x，y，z），

AP

=（1，1，2），

AD

=（0，4，0），
則

n • AP =0 n • AD =0

    即

x+y+2z=0 4y=0

，取

n

=（-2，0，1），…10分
設直線PB與平面PAD所成角為
θ，

BP

=（-1，1，2），
sinθ=|cos＜

BP

，

n

＞|=

| BP • n |

| BP || n |

=

2

15

30

直線PB與平面PAD所成角的正弦值為

2

15

30

…12分

點評：本題考查的知識點是線線垂直，線面角解答（1）的關鍵是熟練掌握空間線面垂直與線線垂直的轉換，解答（2）的關鍵是建立空間坐標系，將空間線面夾角轉化為向量夾角問題．