Question

對于數列A：a₁，a₂，…，a_n，若滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數列A為“0-1數列”．定義變換T，T將“0-1數列”A中原有的每個1都變成0，1，原有的每個0都變成1，0．例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1．設A₀是“0-1數列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…
（Ⅰ） 若數列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．求數列A₁，A₀；
（Ⅱ） 若數列A₀共有10項，則數列A₂中連續兩項相等的數對至少有多少對？請說明理由；
（Ⅲ）若A₀為0，1，記數列A_k中連續兩項都是0的數對個數為l_k，k=1，2，3，…求l_k關于k的表達式．

Answer 1

分析：（I）由變換T的定義“T將“0-1數列”A中原有的每個1都變成0，1，原有的每個0都變成1，0．”直接可得數列A₁，A₀；
（II）數列A₀中連續兩項相等的數對至少有10對，對于任意一個“0-1數列”A₀，A₀中每一個1在A₂中對應連續四項1，0，0，1，在A₀中每一個0在A₂中對應的連續四項為0，1，1，0，因此，共有10項的“0-1數列”A₀中的每一個項在A₂中都會對應一個連續相等的數對；
（III）設A_k中有b_k個01數對，A_k+1中的00數對只能由A_k中的01數對得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01數對有兩個產生途徑：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，討論k的奇偶可求出所求．

解答：解：（Ⅰ）由變換T的定義可得A₁：0，1，1，0，0，1…（2分）A₀：1，0，1…（4分）
（Ⅱ） 數列A₀中連續兩項相等的數對至少有10對                    …（5分）
證明：對于任意一個“0-1數列”A₀，A₀中每一個1在A₂中對應連續四項1，0，0，1，在A₀中每一個0在A₂中對應的連續四項為0，1，1，0，
因此，共有10項的“0-1數列”A₀中的每一個項在A₂中都會對應一個連續相等的數對，
所以A₂中至少有10對連續相等的數對．…（8分）
（Ⅲ） 設A_k中有b_k個01數對，A_k+1中的00數對只能由A_k中的01數對得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01數對有兩個產生途徑：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，
由變換T的定義及A₀：0，1可得A_k中0和1的個數總相等，且共有2^k+1個，
所以b_k+1=l_k+2^k，
所以l_k+2=l_k+2^k，
由A₀：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1
所以l₁=1，l₂=1，
當k≥3時，
若k為偶數，l_k=l_k-2+2^k-2，l_k-2=l_k-4+2^k-4，…l₄=l₂+2²．
上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k-2=

1(1-4 k 2 )

1-4

=

1

3

(2k-1)，
經檢驗，k=2時，也滿足lk=

1

3

(2k-1)．
若k為奇數，l_k=l_k-2+2^k-2l_k-2=l_k-4+2^k-4…l₃=l₁+2．
上述各式相加可得lk=1+2+23+…+2k-2=1+

2(1-4 k-1 2 )

1-4

=

1

3

(2k+1)，
經檢驗，k=1時，也滿足lk=

1

3

(2k+1)．
所以lk=

1 3 (2k+1)，k為奇數 1 3 (2k-1)，k為偶數

．…（13分）

點評：本題主要考查了數列的概念及簡單表示法，以及數列的求和，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．