Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的準線為L，過點M（1，0）且斜率為

3

的直線與L相交于點A，與拋物線的一個交點B，若

AM

=

MB

，求拋物線方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線AB的方程與拋物線方程聯立消去y得3x²+（-6-2p）x+3=0，進而根據

AM

=

MB

，可知M為A、B的中點，可得p的關系式，解方程即可求得p，從而可得拋物線方程．

解答： 解：設直線AB：y=

3

x-

3

，代入y²=2px得3x²+（-6-2p）x+3=0，
又∵

AM

=

MB

，即M為A、B的中點，
∴x_B+（-

p

2

）=2，即x_B=2+

p

2

，
得p²+4P-12=0，
解得p=2，p=-6（舍去）
故拋物線方程為y²=4x．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，判斷M為AB的中點，并據中點公式求得點B的坐標，是解題的難點．