Question

點M（x，y）到定點F₁（2，0）的距離和它到定直線l：x=8的距離的比是常數

1

2

．
（1）求點M的軌跡C；
（2）求過F₂（-2，0）且傾斜角為45°的直線被曲線C所截的弦長．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設動點M（x，y），由圓錐曲線的共同性質知

(x-2)2+y2

|8-x|

=

1

2

，化簡得點M的軌跡C；
（2）設出直線方程與橢圓方程聯立，結合焦半徑公式，即可求出過F₂（-2，0）且傾斜角為45°的直線被曲線C所截的弦長．

解答： 解：（1）設動點M（x，y），由圓錐曲線的共同性質知

(x-2)2+y2

|8-x|

=

1

2

，
化簡得：

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）橢圓的另一焦點為F₂（-2，0），過F₂（-2，0）的傾斜角為45°的直線方程為y=x+2，
與橢圓方程聯立得7x²+16x-32=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

16

7

，
由焦半徑公式AB=a+ex₁+a+ex₂=2a+e（x₁+x₂）=8+

1

2

(-

16

7

)=

48

7

．

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查了橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，是中檔題．