Question

已知圓的方程為x²+y²=4，過點M（2，4）作圓的兩條切線，切點分別為A₁、A₂，直線A₁A₂恰好經過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）垂直于x軸的一條弦，AB所在直線的方程為x=m（|m|＜a且m≠0），P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交定直線l：x=

a2

m

于兩點Q、R，求證

OQ

•

OR

＞4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖易求切點A₁（2，0），根據MO⊥A₁A₂可求直線A₁A₂的方程，從而可求橢圓上頂點，進而得a，b值；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），A（m，n），B（m，-n），則有

x

2 0

+4

y

2 0

-4=0，m²+4n²-4=0，寫出直線AP方程可求得y_Q，同理求得y_R，于是可得y_Q•y_R，進而得到

OQ

•

OR

，再根據m的范圍即可求證．

解答：解：（Ⅰ） 觀察知，x=2是圓的一條切線，切點為A₁（2，0），
設O為圓心，根據圓的切線性質，MO⊥A₁A₂，
所以kA1A2=-

1

kMO

=-

1

2

，
所以直線A₁A₂的方程為y=-

1

2

(x-2)．
線A₁A₂與y軸相交于（0，1），依題意知a=2，b=1，
所求橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ） 橢圓方程為

x2

4

+y2=1，設P（x₀，y₀），A（m，n），B（m，-n），
則有

x

2 0

+4

y

2 0

-4=0，m²+4n²-4=0，
在直線AP的方程y-n=

n-y0

m-x0

(x-m)中，令x=

4

m

，整理得yQ=

(m2-4)y0+(4-mx0)n

m(m-x0)

．①
同理，yR=

(m2-4)y0-(4-mx0)n

m(m-x0)

．②
①×②，并將

y

2 0

=1-

1

4

x

2 0

，n2=1-

1

4

m2代入得y_Q•y_R=

(m2-4)2 y 2 0 -(4-mx0)2n2

m2(m-x0)2

=

(m2-4)2•(1- 1 4 x 2 0 )+(4-mx0)2•( 1 4 m2-1)

m2(m-x0)2

=

(m2-4)(m-x0)2

m2(m-x0)2

=

(m2-4)

m2

．
而

OQ

•

OR

=(

4

m

，yQ)•(

4

m

，yR)=

16

m2

+yQ•yR=

m2+12

m2

=1+

12

m2

，
∵|m|＜2且m≠0，∴0＜m2＜4，

12

m2

＞3，
∴

OQ

•

OR

＞4．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查橢圓的標準方程，考查數形結合思想，考查學生的運算能力、分析問題解決問題的能力，難度較大．