Question

已知圓的方程為x²+y²=4，過點M（2，4）作圓的兩條切線，切點分別為A₁、A₂，直線A₁A₂恰好經過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點，P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點Q、R，求證

OQ

•

OR

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圓的切線的性質即可求出橢圓的右頂點和上頂點，進而即可得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設出點P的坐標，代入橢圓的方程即可得到關系式，點A，B的坐標易求出，寫出直線AP，BP的方程，即可得到點Q，R的縱坐標，再利用向量的數量積即可證明．

解答：解：（Ⅰ） 觀察知，x=2是圓的一條切線，切點為A₁（2，0），
設O為圓心，根據圓的切線性質，MO⊥A₁A₂，
∴kA1A2=-

1

kMO

=-

1

2

，
∴直線A₁A₂的方程為y=-

1

2

(x-2)．
直線A₁A₂與y軸相交于（0，1），依題意a=2，b=1，
所求橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）橢圓方程為

x2

4

+y2=1，設P（x₀，y₀），A（-1，t），B（-1，-t），
則有

x

2 0

+4

y

2 0

-4=0，

1

4

+t2=1，
在直線AP的方程y-t=

t-y0

-1-x0

(x+1)中，令x=-4，整理得yQ=

(4+x0)t-3y0

(1+x0)

．①
同理，yR=

-3y0-(4+x0)t

(1+x0)

．②
①×②，并將

y

2 0

=1-

1

4

x

2 0

，t2=

3

4

代入得y_Q•y_R=

9 y 2 0 -(4+x0)2t2

(1+x0)2

=

9(1- 1 4 x 2 0 )-(4+x0)2• 3 4

(1+x0)2

=

-3(1+x0)2

(1+x0)2

=-3．
而

OQ

•

OR

=(-4，yQ)•(-4，yR)=16+yQ•yR=13為定值．

點評：熟練掌握圓的切線的性質、橢圓的標準方程及其性質、直線的點斜式、數量積的定義是解題的關鍵．注意體會設而不求的作用．