Question

有三個新興城鎮，分別位于A、B、C三點處，且AB=AC=13,BC=10.今計劃合建一個中心醫院，為同時方便三鎮，準備建在BC的垂直平分線上的P點處.

(1)若希望點P到三鎮距離的平方和最小，點P應位于何處？

(2)若希望點P到三鎮的最遠距離為最小，點P應位于何處？

Answer 1

(1)解：設P(0,y)，P到三鎮距離的平方和為f(y).

f(y)=2(25+y²)+(12-y)²=3(y-4)²+146.

    當y=4時，f(y)_min=146.∴P為(0,4).

(2)解法一：設P到三鎮的最遠距離為z,

|PA|=|12-y|,|PB|=|PC|=,

    則z=max{|PA|,|PB|}.

    作出z=|12-y|,z=的圖象.

    兩圖象交點橫坐標為.

    當y≤時，z=|y-12|=12-y;

    當y＞時，z=.

∴y=時，z最小.

解法二：z=

    即z=

    當y≤時,z為減函數,

∴y=時，z≥12-=;

    當y＞時，z為增函數.z＞.

∴y=時，z_min=.

∴滿足條件的P點坐標為(0,).