Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求的值：

（Ⅱ）若函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若方程無實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）或．

【解析】

（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及已知切線方程即可求解；

（Ⅱ）結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求；

（Ⅲ）結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求．

解：（Ⅰ）已知，

，

由曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

可得，得，

則，，

解得：.

（Ⅱ）若函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù)，

則在內(nèi)恒成立，

令，則，

①時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以，

②若，當(dāng)，，單調(diào)遞增，

所以，

③時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，

，

綜上，時(shí)，滿足題意；

（Ⅲ）由可得，

若，則是方程的根，故，

若，則無實(shí)根，

若，令，則，

方程可化為即，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以，

若沒有實(shí)根，則，

解得：或，

綜上：或.