Question

設

a

=(cosx-sinx，2sinx)，

b

=(cosx+sinx，cosx)，f(x)=

a

•

b

，函數f（x）=

a

•

b

，給出下列四個命題：①函數在區間[

π

8

，

5π

8

]上是減函數；②直線x=

π

8

是函數圖象的一條對稱軸；③函數f（x）的圖象可由函數y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位而得到；④函數y=|f（x）|的最小正周期是π；其中正確命題的序號是

①②

．

Answer 1

分析：先化簡f（x）=

a

•

b

=

2

sin(2x+

π

4

)，然后利用三角函數的性質來判斷各命題的真假即可．

解答：解：由題意知：
∵f（x）=

a

•

b

=

2

sin(2x+

π

4

)，所以在

π

2

≤2x+

π

4

≤

3π

2

上單調遞減，所以f（x）的單調遞減區間為[

π

8

，

5π

8

]，故①正確；
又因為f（x）的對稱軸為x=kπ+

π

2

（k∈Z），即kπ+

π

2

=2x+

π

4

，則x=

kπ

2

+

π

8

，當k=0時，x=

π

8

，故②正確；
因為函數f（x）的圖象可由函數y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

8

個單位而得到，故③錯誤；
由函數圖象可知函數y=|f（x）|的最小正周期是

π

2

，故④錯誤．
故答案為①②．

點評：本題結合向量主要考查三角函數的性質，屬基礎題型．