Question

已知向量

m

=(sinx，

3

2

)，

n

=(cosx，-1)，設f(x)=(

m

+

n

)•

n

．
（1）求函數f（x）的表達式，并求f（x）的單調遞減區間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f(A)=

1

2

，b=1，S△ABC=

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據

m

=(sinx，

3

2

)，

n

=(cosx，-1)，利用數量積公式，結合輔助角公式化簡函數，利用正弦函數的單調遞減區間，即可得到結論；
（2）由f(A)=

2

2

sin(2A+

π

4

)=

1

2

得sin(2A+

π

4

)=

2

2

，從而可求A的值，利用三角形的面積公式，結合余弦定理可求a的值．

解答：解：（1）∵

m

=(sinx，

3

2

)，

n

=(cosx，-1)
∴f(x)=(

m

+

n

)•

n

=

m

•

n

+

n

2=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)．
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z），
所以函數f（x）的單調遞減區間是[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）． …（6分）
（2）由f(A)=

2

2

sin(2A+

π

4

)=

1

2

得sin(2A+

π

4

)=

2

2

．
又∵A為△ABC的內角，∴2A+

π

4

=

3

4

π，∴A=

π

4

．
∵b=1，S△ABC=

1

2

，∴

1

2

bcsinA=

1

2

． 
∵a²=b²+c²-2bccosA
∴a=1…（12分）

點評：本題考查向量的運算、三角變換、三角函數的單調性、三角形的面積、余弦定理等知識，考查學生運算能力和運用用知識的能力，中等題．