Question

已知α，β為銳角△ABC的兩個內角，α≠β，可導函數f（x）滿足xf'＜f（x），則（　　）

A．cosβf（sinα）=sinαf（cosβ）

B．cosβf（sinα）＜sinαf（cosβ）

C．cosβf（sinα）＞sinαf（cosβ）

D．cosβf（sinα）≥sinαf（cosβ）

Answer 1

分析：根據條件f（x）＞xf′（x）可構造函數g（x）=

f(x)

x

，然后得到函數的單調性，從而得到所求．

解答：解：∵α，β為銳角△ABC的兩個內角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°-β）＜sinα
∵可導函數f（x）滿足xf'＜f（x），
可以令g（x）=

f(x)

x

，可得g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＜0，
g（x）為減函數，
∴g（sinα）＜g（cosβ），
∴

f(sinα)

sinα

＜

f(cosβ)

cosβ

，
∴cosβf（sinα）＜sinαf（cosβ），
故選B；

點評：本題主要考查了導數除法的運算法則，以及利用構造法是解題的關鍵，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．