Question

已知且，函數，，記.
（Ⅰ）求函數的定義域的表達式及其零點；
（Ⅱ）若關于的方程在區間內僅有一解，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）0；（Ⅱ）若，則，；若，則. 

解析試題分析：（Ⅰ）先求函數的定義域，注意對數的真數為正，分數的分母為正，由，變為兩個對數式相等，則兩個真數等，便有解方程即得，注意有無增根；（Ⅱ）用分離系數法變成
，把對數式轉換為指數式，利用函數的性質求解.
試題解析：（Ⅰ）（且）
，解得，所以函數的定義域為，
令，則……（*）方程變為
，，即，(3分)
解得，，
經檢驗是（*）的增根，所以方程（*）的解為，
所以函數的零點為.                                 (6分)
（Ⅱ）（）
 ，，
設，則函數在區間上是減函數，   (9分)
當時，此時，，所以，
①若，則，方程有解；
②若，則，方程有解.                       (12分)
考點：函數的零點，分類討論.