Question

（2012•黃岡模擬）已知函數f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求曲線y=f(x)在x=

1

2

處切線的斜率；
（2）求函數f（x）的單調增區間；
（3）設g（x）=2^x，若對任意x₁∈（0，+∞），存在x₂∈[0，1]，使f（x₁）＜g（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）運用求導數法則，得f'（x）=1+

1

x

，從而得到曲線y=f(x)在x=

1

2

處切線的斜率k=f'（

1

2

）=3；
（2）首先f'（x）=a+

1

x

，（x＞0），再根據a的正負討論f'（x）的取值，可得當a≥0時，函數f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函數；當a＜0時，f（x）=ax+lnx在（0，-

1

a

）上為增函數，在（-

1

a

，+∞）上為減函數．
（3）由題意，得f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于g（x₂）在[0，1]上的最大值．由指數函數單調性可得g（x₂）在[0，1]上的最大值為g（1）=2，從而得到f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于2．再結合（2）中函數單調性的結論，列出不等式并解之，即可得到實數a的取值范圍為（-∞，-

1

e3

）．

解答：解：（1）a=1時，f（x）=x+lnx
∴f'（x）=1+

1

x

，可得f'（

1

2

）=3
∴曲線y=f(x)在x=

1

2

處切線的斜率k=f'（

1

2

）=3
（2）由題意，得f'（x）=a+

1

x

，（x＞0）
∴當a≥0時，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立；
當a＜0時，f'（x）=a+

1

x

在（0，-

1

a

）上為正數，在（-

1

a

，+∞）上為負數
由此可得：當a≥0時，函數f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函數；
當a＜0時，f（x）=ax+lnx在（0，-

1

a

）上為增函數，在（-

1

a

，+∞）上為減函數
（3）由題意，得f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于g（x₂）在[0，1]上的最大值．
∵g（x）=2^x，[0，1]上是增函數
∴g（x₂）在[0，1]上的最大值為g（1）=2
即f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于2
當a≥0時，函數f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函數，f（x₁）沒有最大值；
當a＜0時，f（x₁）在（0，+∞）上的最大值為f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）＜2
解之得a＜-

1

e3

，可得實數a的取值范圍為（-∞，-

1

e3

）．

點評：本題給出含有對數的基本初等函數，討論函數的單調性并解決不等式恒成立的問題，著重考查了利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義和含有參數不等式的討論等知識，屬于中檔題．