Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC，PB＝PD＝AC，E是PD的中點，求證：

（1）PB∥平面ACE；

（2）平面PAC⊥平面ABCD．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）連結BD，交AC于點O，連OE，根據底面圖像的特點得到O為BD的中點又E是PD的中點，故OE∥PB，進而得到線面平行；（2）根據底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以為正三角形，通過邊長關系得到PB =AB =PA，從而，PA⊥AB，同理可證PA⊥AD進而得到PA⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面ABCD.

（1）連結BD，交AC于點O，連OE.

因為底面ABCD是菱形，

所以點O為BD的中點.

又E是PD的中點，故OE∥PB.

又因為OE平面ACE，PB平面ACE.

（2）因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以為正三角形，從而AB = AC.

又PB =AC，PA = AC，

所以PB =AB =PA.

從而，PA⊥AB.

同理可證PA⊥AD，

又因為ABAD = A，且AB，AD平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD.

因為PA平面PAC，所平面PAC⊥平面ABCD.