Question

【題目】設函數f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）
（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；
求實數m的取值范圍．
（2）當a≥2時，討論函數f（x）的單調性；
（3）若對任意a∈（2，3）及任意x1 ， x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域為（0，+∞），

a=1時，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣ = ，

令f′（x）=0，得x=1，

∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

∴f（x）極小值=f（1）=1，無極大值；

（2）解：f′x）=（1﹣a）x+a﹣ = ，

當 =1，即a=2時，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上遞減；

當 ＜1，即a＞2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜ ，或x＞1，令f′（x）＞0，得 ＜x＜1，

當 ＞1，即a＜2時，矛盾舍，

綜上，a=2時，f（x）在（0，+∞）遞減，a＞2時，f（x）在（0， ）和（1，+∞）遞減，在（ ，1）遞增；

（3）解：由（2）得；a∈（2，3）時，f（x）在[1，2]上遞減，

x=1時，f（x）最大，x=2時，f（x）最小，

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）= ﹣ +ln2，

∴ma+ln2＞ ﹣ +ln2．

a＞0時，經整理得m＞ ﹣ ，

由2＜a＜3得；﹣ ＜ ﹣ ＜0，

∴m≥0

【解析】（1）將a=1代入函數求出導函數得到單調區間，從而求出極值，（2）先求出導函數，再分別討論a＞2，a=2，a＜2時的情況，綜合得出單調區間；（3）由（2）得；a∈（2，3）時，f（x）在[2，3]上遞減，x=1時，f（x）最大，x=2時，f（x）最小，從而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）= ﹣ +ln2，進而證出ma+ln2＞ ﹣ +ln2．經整理得m＞ ﹣ ，由2＜a＜3得；﹣ ＜ ﹣ ＜0，從而m≥0．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．