【題目】已知f（x）=ax3+3x2﹣x+1，a∈R．
（1）當a=﹣3時，求證：f（x）=在R上是減函數；
（2）如果對x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求實數a的取值范圍．
【答案】
（1）證明：當a=﹣3時，f（x）=﹣3x3+3x2﹣x+1，
∵f′（x）=﹣9x2+6x﹣1=﹣（3x﹣1）2≤0，
∴f（x）在R上是減函數；
（2）解：∵x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即x∈R不等式3ax2+6x﹣1≤4x恒成立，
∴x∈R不等式3ax2+2x﹣1≤0恒成立，
當a≥0時，x∈R，3ax2+2x﹣1≤0不恒成立，
當a＜0時，x∈R不等式3ax2+2x﹣1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，
∴a≤﹣ 
【解析】（1）把a=﹣3代入函數解析式中確定出f（x）的解析式，求出f（x）的導函數，配方可知導函數恒小于等于0，進而得到f（x）在R上為減函數；（2）求出f（x）的導函數，把求出的導函數代入到已知的不等式中，移項使不等式的右邊為0，左邊為一個二次函數，討論a≥0時，不等式顯然不恒成立；a＜0時，不等式要恒成立，根的判別式△≤0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間
內，(1)如果
，那么函數
在這個區間單調遞增；(2)如果
，那么函數
在這個區間單調遞減才能得出正確答案．
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個盒子中裝有4張卡片，每張卡片上寫有1個數字，數字分別是1，2，3，4，現從盒子中隨機抽取卡片．
（1）若一次從中隨機抽取3張卡片，求3張卡片上數字之和大于或等于8的概率；
（2）若隨機抽取1張卡片，放回后再隨機抽取1張卡片，求兩次抽取的卡片中至少一次抽到數字3的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為考察高中生的性別與是否喜歡數學課程之間的關系，在某城市的某校高中生中，從男生中隨機抽取了70人，從女生中隨機抽取了50人，男生中喜歡數學課程的占
，女生中喜歡數學課程的占
，得到如下列聯表.
喜歡數學課程 | 不喜歡數學課程 | 合計 | ||||||||
男生 | ||||||||||
女生 | ||||||||||
合計 | ||||||||||
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |||
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | |||
（1）請將列聯表補充完整；試判斷能否有90%的把握認為喜歡數學課程與否與性別有關；
（2）從不喜歡數學課程的學生中采用分層抽樣的方法，隨機抽取6人，現從6人中隨機抽取2人，若所選2名學生中的女生人數為
，求的分布列及數學期望.
附：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等比數列{an}滿足a1=2，a2=4（a3﹣a4），數列{bn}滿足bn=3﹣2log2an ．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）令cn= 
，求數列{cn}的前n項和Sn；
（3）若λ＞0，求對所有的正整數n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）= 
x2+ax﹣lnx（a∈R）
（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；
求實數m的取值范圍．
（2）當a≥2時，討論函數f（x）的單調性；
（3）若對任意a∈（2，3）及任意x1 ， x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設無窮等差數列{an}的前n項和為Sn ， 已知a1=1，S3=12．
（1）求a24與S7的值；
（2）已知m、n均為正整數，滿足am=Sn ． 試求所有n的值構成的集合．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知a＞0，a≠1，設p：函數y=loga（x+1）在（0，+∞）上單調遞減；q：曲線y=x2+（2a﹣3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果p且q為假命題，p或q為真命題，求a的取值范圍．
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