Question

【題目】定義在上的函數，若已知其在內只取到一個最大值和一個最小值，且當時函數取得最大值為；當，函數取得最小值為．

（1）求出此函數的解析式；

（2）若將函數的圖像保持橫坐標不變縱坐標變為原來的得到函數，再將函數的圖像向左平移個單位得到函數，已知函數的最大值為，求滿足條件的的最小值；

（3）是否存在實數，滿足不等式？若存在，求出的范圍（或值），若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）利用最大值和最小值確定和，進而得到；利用可求得的取值，進而得到所求函數解析式；

（2）由圖象平移和伸縮變換原則得到，由與函數的單調性可知只有當，同時取得時，函數取最大值，由此可得到，根據得到最終結果；

（3）由偶次根式被開方數大于等于零可確定的范圍，進而得到兩角整體所處范圍，根據函數單調性可得到，解不等式即可求得結果.

（1），

，

，

解得：，，又

（2）由題意知：，

函數與函數均為單調增函數，且，

當且僅當與同時取得才有函數的最大值為

由得：，

又 ，

又 的最小值為

（3）滿足，解得：

同理

，

，

由（1）知函數在上遞增

若有

只需要：，即成立即可

存在，使成立