Question

已知是公差不等于0的等差數列，是等比數列，且.
（1）若,比較與的大小關系；
（2）若.（ⅰ）判斷是否為數列中的某一項，并請說明理由；
（ⅱ）若是數列中的某一項，寫出正整數的集合（不必說明理由）.

Answer 1

（1），（2）是中的一項，正整數的集合是．

試題分析：（1）記的，公差為，公比為，由，得，比較與的大小關系，由已知是公差不等于0的等差數列，是等比數列，且，且，得，，當時，顯然，當時，由平均值不等式，從而可比較與的大小關系；（2）若，可得，，（ⅰ）令，由等差數列，等比數列的通項公式，建立方程，解出，若是正整數，為數列中的某一項，若不是正整數，不是數列中的一項，（ⅱ）若是數列中的某一項，寫出正整數的集合，可由（ⅰ）的方法寫出．
試題解析：記的，公差為，公比為，由，得
（1），，，，
當時，顯然；
當時，由平均值不等式，當且僅當時取等號，而，所以即.綜上所述，．                5分
（2）（ⅰ）因為，所以得所以或.因為，所以，.
令，即，，，所以是中的一項.
（ⅱ）假設，則，，
當或，（）時，.
正整數的集合是.            13分