Question

（2013•嘉興二模）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b=1，則a2+4b2+

1

ab

的最小值為（　　）

• A．

  7

  2

• B．4
• C．

  161

  36

• D．

  17

  2

Answer 1

分析：由條件利用基本不等式可得 ab∈（0，

1

8

]，再由 a2+4b2+

1

ab

=1-4ab+

1

ab

，且1-4ab+

1

ab

在（0，

1

8

]上是減函數(shù)，求得它的最小值．

解答：解：∵已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b=1，∴1=a+2b≥2

2ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，取等號(hào)．解得ab≤

1

8

，即 ab∈（0，

1

8

]．
再由 （a+2b）²=a²+4b²+4ab=1，故 a2+4b2+

1

ab

=1-4ab+

1

ab

．
把a(bǔ)b當(dāng)做自變量，則1-4ab+

1

ab

在（0，

1

8

]上是減函數(shù)，故當(dāng)ab=

1

8

時(shí)，1-4ab+

1

ab

取得最小值為 1-

1

2

+8=

17

2

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．