Question

（2013•嘉興二模）已知點A（-3，0）和圓O：x²+y²=9，AB是圓O的直徑，M和N是AB的三等分點，P（異于A，B）是圓O上的動點，PD⊥AB于D，

PE

=λ

ED

(λ＞0)，直線PA與BE交于C，則當λ=

1

8

時，|CM|+|CN|為定值．

Answer 1

分析：設點P（x₀，y₀），則點E（x₀，

1

1+λ

•y0），用點斜式求出PA、BE的方程，聯立方程組求得點C滿足的關系式，為

x2

9

+

y2

9 1+λ

=1，故點C在以AB為長軸的橢圓上，當M、N為此橢圓的焦點時，|CM|+|CN|為定值2a=6．再根據
a²-b²=c² 可得λ的值．

解答：解：由題意可得B（3，0），M（-1，0）、N（1，0），設點P（x₀，y₀），則點E（x₀，

1

1+λ

•y0）．
故PA的方程為 y=

y0

x0+3

•（x+3）…①，BE的方程為 y=

1 1+λ •y0

x0-3

（x-3）…②．
由①②聯立方程組可得 y²=

y02

(1+λ)(x02-9)

 （x²-9）．
把y02=9-x02 代入化簡可得

x2

9

+

y2

9 1+λ

=1，故點C在以AB為長軸的橢圓上，當M、N為此橢圓的焦點時，
|CM|+|CN|為定值2a=6．
此時，a=3，c=1，b=

9 1+λ

，由 a²-b²=c² 可得 9-

9

1+λ

=1，求得λ=

1

8

，
故答案為

1

8

．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，橢圓的定義和簡單性質的應用，求兩條直線的交點坐標，屬于中檔題．