Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若是的一個極值點，求函數表達式, 并求出的單調區間；

（Ⅱ）若，證明當時，．

Answer 1

【答案】（1）,單調遞增區間是，遞減區間是（2）見解析

【解析】

（1）由題可得：，求出。再利用的正負求單調區間。

（2）把不等式證明問題轉化成函數的最值處理，判斷好在單調性，從而求出最小值。

解：（Ⅰ）的定義域為，

．

由題設知，，所以．

經檢驗滿足已知條件，

從而．

當時，；當時，．

所以單調遞增區間是，遞減區間是．

（Ⅱ）設，

則

⑴當時，，

，即

⑵當時，

在區間上單調遞減

，即

綜上得, 當且時，成立．

（Ⅱ）解法二：⑴若，則

⑵若，則

當時，

設，

在區間上單調遞減

，則

綜上得, 當且時，成立．